统计学笔记 | 主成分分析
主成分分析（PCA）是一种多元统计分析方法，主要用于数据降维。其核心思想是通过坐标轴的旋转，将原始的线性相关变量转换成少数几个线性无关的变量，以简化数据结构。
如图1所示，原始变量X1与X2之间存在线性关系，红线表示旋转后的坐标轴。在新坐标轴下，X1与X2可以用一个变量来近似表示，从而在不损失过多信息的情况下降低数据维度。
在主成分分析中，考虑以下线性变换：
[公式]
其中，Z1是第1个主成分，W是载荷向量，X代表样本空间中的任意样本点。主成分分析的目标是在坐标轴正交旋转后，最大化主成分的方差，得到约束条件[公式]。记[公式]，则第1个主成分的方差为[公式]。
在方差最大化的过程中，需要对W进行限制，因为总是存在[公式]的情况。因此，主成分分析对载荷向量进行了一些限制，即[公式]，等价于让[公式]。求解第1个主成分的问题可以归纳为求解如下约束优化问题：
[公式]
通常情况下，可以采用拉格朗日乘子法求解约束优化问题。为了方便起见，本文首先求解第1个主成分[公式]，然后求解优化问题(2)的拉格朗日函数[公式]，对[公式]求导可得[公式]。第1个主成分的载荷向量等价于求解属于第1大特征值的特征向量。
载荷是指[公式]的第j维元素在原始变量Xj上的载荷，它反映了原始变量Xj对主成分的重要程度。
将优化问题(1)转化为无约束优化问题，写出优化问题(2)的拉格朗日函数[公式]，令式(2)对[公式]求导，并令导数等于[公式]，得到[公式]。其中，λ是拉格朗日乘子。
将[公式]两边同时乘以[公式]，得到[公式]。由于第1个主成分的载荷向量[公式]等于属于第1大特征值的特征向量，可将式(7)变形为[公式]。根据约束条件可知[公式]。因此式(5)变为[公式]。由[公式]，可以解得[公式]。同理可得到[公式]均为[公式]。将[公式]代入式(3)可得[公式]。第1个主成分的载荷向量等价于求解属于第1大特征值的特征向量。
最小化重构误差法与最大方差法的优化问题是等价的。接下来，我们将展开式(4)中的目标函数，观察式(5)最后一项，应用约束条件[公式]，可得[公式]。因为[公式]是一个常数，所以式(4)中的目标函数等价于[公式]。根据矩阵迹的性质[公式]，式(7)等价于[公式]。此时优化问题为[公式]。显然式(16)与最大方差法的定义是等价的。
在R语言中，可以使用prcomp函数实现主成分分析。以下是一个模拟数据集测试的例子，根据图2所示，X1与X2之间存在明显相关关系，X3与X4没有明显相关关系。通过主成分分析，可以使用两个变量来近似表示这三个变量，从而达到降维的目的。当提取两个主成分时，累计方差贡献率达到了[公式]，因此这组数据提取两个主成分即可。
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